Homomorfisma & Isomorfisma Gelanggang

Back to MA2022 Struktur Bilangan Bulat

Homomorfisma & Isomorfisma Gelanggang

Questions/Cues

• Definisi Homomorfisma
• Sifat Mengawetkan Struktur
• Definisi Isomorfisma
• Makna “Isomorfik”
• Contoh: Peta Modulo n

Definisi Homomorfisma Gelanggang

Sebuah Homomorfisma Gelanggang adalah sebuah fungsi atau “peta” (f) dari sebuah gelanggang (R₁, +, ⋅) ke gelanggang lain (R₂, +, ⋅) yang menjaga (mengawetkan) struktur dari kedua operasi.

Sebuah fungsi f: R₁ → R₂ adalah homomorfisma jika untuk setiap a, b ∈ R₁ berlaku:

1. Mengawetkan Penjumlahan: f(a + b) = f(a) + f(b).

2. Mengawetkan Perkalian: f(a ⋅ b) = f(a) ⋅ f(b).

• Syarat Tambahan: Jika R₁ dan R₂ adalah gelanggang dengan elemen satuan, maka homomorfisma juga harus memetakan elemen satuan ke elemen satuan: f(1_R₁) = 1_R₂.

Sifat Mengawetkan Struktur

Secara intuitif, homomorfisma berarti “melakukan operasi di gelanggang asal lalu memetakannya sama dengan memetakan elemen-elemennya terlebih dahulu lalu melakukan operasi di gelanggang tujuan”. Ini menunjukkan adanya hubungan struktural yang mendasar antara kedua gelanggang tersebut.

Definisi Isomorfisma Gelanggang

Sebuah Isomorfisma Gelanggang adalah sebuah homomorfisma yang juga bersifat bijektif (yaitu, satu-satu dan pada). Ini adalah jenis pemetaan antar gelanggang yang paling kuat.

Makna “Isomorfik” (≅)

Jika terdapat sebuah isomorfisma antara gelanggang R₁ dan R₂, kita katakan bahwa R₁ isomorfik dengan R₂ (ditulis R₁ ≅ R₂).

• Artinya: Kedua gelanggang tersebut secara esensial identik secara struktural. Meskipun nama elemen dan operasinya mungkin terlihat berbeda, “aturan main” aljabarnya persis sama. Satu gelanggang bisa dianggap sebagai “versi ganti nama” dari yang lain.

Contoh: Peta Modulo n dan Gelanggang Kuosien

• Peta Modulo: Fungsi f: ℤ → ℤₙ yang didefinisikan oleh f(a) = [a] (kelas residu a modulo n) adalah sebuah contoh klasik dari homomorfisma gelanggang.
• Teorema Isomorfisma: Konsep ini mengarah pada salah satu teorema paling fundamental dalam teori gelanggang, yaitu bahwa gelanggang kuosien ℤ/nℤ (di mana nℤ adalah sebuah ideal dari ℤ) adalah isomorfik dengan ℤₙ. Ini secara formal menunjukkan bahwa ℤₙ adalah hasil dari “pembagian” ℤ oleh ideal nℤ.

Summary

Sebuah Homomorfisma Gelanggang adalah fungsi antar gelanggang yang mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian. Jika homomorfisma tersebut juga bijektif, ia disebut Isomorfisma, yang menandakan bahwa kedua gelanggang secara struktural identik. Konsep ini sangat penting untuk memahami hubungan dan kemiripan antar gelanggang, dengan contoh kunci adalah isomorfisma antara gelanggang kuosien ℤ/nℤ dan gelanggang ℤₙ.

Additional Information & Contoh Soal

Informasi Tambahan

• Kernel Homomorfisma: Kernel dari sebuah homomorfisma f: R₁ → R₂, ditulis Ker(f), adalah himpunan semua elemen di R₁ yang dipetakan ke elemen nol di R₂. Ker(f) = {a ∈ R₁ | f(a) = 0_R₂}.
• Hubungan Kernel dan Ideal: Kernel dari sebuah homomorfisma gelanggang selalu merupakan sebuah ideal dari gelanggang domain R₁. Ini adalah jembatan konseptual yang sangat penting antara homomorfisma dan ideal.

Contoh Soal

1. Soal Verifikasi Homomorfisma: Tunjukkan bahwa peta f: ℤ → ℤ yang didefinisikan oleh f(x) = 2x bukan merupakan homomorfisma gelanggang.
   • Jawaban: Kita periksa kedua syarat.
     1. Penjumlahan: f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = f(x) + f(y). Syarat penjumlahan terpenuhi.
     2. Perkalian: f(x⋅y) = 2(xy). Sedangkan f(x)⋅f(y) = (2x)(2y) = 4xy. Karena 2xy ≠ 4xy, syarat perkalian tidak terpenuhi. Jadi, f bukan homomorfisma gelanggang.
2. Soal Konseptual Isomorfisma: Apakah gelanggang ℤ dan 2ℤ isomorfik?
   • Jawaban: Tidak. Gelanggang ℤ memiliki elemen satuan (yaitu 1), sedangkan gelanggang 2ℤ (himpunan bilangan genap) tidak memiliki elemen satuan. Karena isomorfisma harus mempertahankan semua properti struktural, termasuk keberadaan elemen satuan, maka kedua gelanggang ini tidak isomorfik.
3. Soal Kernel: Tentukan Kernel dari homomorfisma f: ℤ → ℤ₄ yang didefinisikan oleh f(a) = [a] mod 4.
   • Jawaban: Kernel adalah himpunan semua a ∈ ℤ yang dipetakan ke [0] di ℤ₄. f(a) = [a] = [0] jika dan hanya jika a adalah kelipatan dari 4.
   • Jadi, Ker(f) = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...} yang tidak lain adalah ideal 4ℤ.