Ideal

Back to MA2022 Struktur Bilangan Bulat

Ideal

Questions/Cues

• Definisi Ideal
• Sifat Kunci: “Menyerap”
• Tes Ideal
• Ideal vs. Subgelanggang
• Ideal Utama <r>
• Ideal dalam ℤ

Definisi Ideal

Sebuah Ideal adalah jenis subhimpunan yang lebih spesial dan lebih kuat daripada subgelanggang. Sebuah himpunan bagian tak-kosong I dari sebuah gelanggang R disebut ideal jika ia merupakan subgrup terhadap penjumlahan dan memiliki sifat “penyerapan” terhadap perkalian.

Sifat Kunci: “Menyerap” Perkalian

Inilah yang membuat ideal berbeda dari subgelanggang. Sebuah ideal I harus “menyerap” perkalian dari elemen mana pun di gelanggang induk R.

• Formal: Untuk setiap i ∈ I dan setiap r ∈ R (elemen dari gelanggang R), hasil perkalian r ⋅ i dan i ⋅ r keduanya harus “jatuh kembali” ke dalam I.
• Ideal Kiri & Kanan: Jika hanya r ⋅ i ∈ I yang terpenuhi, ia disebut ideal kiri. Jika hanya i ⋅ r ∈ I yang terpenuhi, ia disebut ideal kanan. Sebuah “ideal” (tanpa keterangan) berarti memenuhi keduanya.

Tes Ideal

Sebuah himpunan bagian tak-kosong I dari R adalah sebuah ideal jika memenuhi dua syarat berikut untuk setiap a, b ∈ I dan r ∈ R:

1. a - b ∈ I (Menjamin (I,+) adalah subgrup).
2. r ⋅ a ∈ I dan a ⋅ r ∈ I (Sifat penyerapan).

Ideal vs. Subgelanggang

Hubungan keduanya sangat jelas:

• Setiap ideal adalah subgelanggang. Ini karena jika a,b ∈ I, maka sifat penyerapan menjamin a ⋅ b ∈ I (dengan memilih r=a).
• Tidak semua subgelanggang adalah ideal. Ini adalah pembeda utamanya.
• Contoh: ℤ adalah subgelanggang dari ℚ. Namun, ℤ bukan ideal dari ℚ karena ia tidak menyerap perkalian. Ambil 3 ∈ ℤ dan (1/2) ∈ ℚ. Hasilnya (1/2) ⋅ 3 = 3/2, dan 3/2 tidak ada di ℤ.

Ideal Utama (Principal Ideal) <r>

Dalam sebuah gelanggang komutatif R, ideal yang paling sederhana adalah yang dapat dibangkitkan oleh satu elemen saja.

• Definisi: Ideal utama yang dibangkitkan oleh r ∈ R, dinotasikan <r>, adalah himpunan semua kelipatan r oleh elemen-elemen dari R.
• Formal: <r> = {s ⋅ r | s ∈ R}.

Ideal dalam ℤ

Gelanggang bilangan bulat ℤ memiliki sifat yang sangat rapi terkait idealnya.

• Teorema: Setiap ideal dari ℤ adalah sebuah ideal utama. Ini berarti semua ideal di ℤ dapat ditulis dalam bentuk nℤ untuk suatu n ∈ ℤ.

Summary

• Sebuah Ideal adalah jenis subgelanggang spesial yang tidak hanya tertutup terhadap perkalian internal, tetapi juga ‘menyerap’ perkalian dari elemen manapun di gelanggang induknya. Sifat ‘penyerapan’ (ra ∈ I dan ar ∈ I) ini adalah pembeda utamanya. Ideal yang dapat dibangkitkan oleh satu elemen disebut Ideal Utama, dan di dalam gelanggang bilangan bulat ℤ, semua ideal memiliki bentuk nℤ.

Additional Information & Contoh Soal

Informasi Tambahan

• Peran Ideal: Ideal dalam teori gelanggang memiliki peran yang analog dengan subgrup normal dalam teori grup. Keberadaan ideal memungkinkan kita untuk membangun struktur baru yang disebut Gelanggang Faktor atau Gelanggang Kuosien (R/I), yang sangat fundamental dalam studi aljabar abstrak.

Contoh Soal

1. Soal Verifikasi: Buktikan bahwa I = 6ℤ adalah ideal dari gelanggang ℤ.
   • Jawaban: Ambil a, b ∈ 6ℤ dan r ∈ ℤ. Maka a=6k₁ dan b=6k₂ untuk suatu k₁, k₂ ∈ ℤ.
     1. a - b = 6k₁ - 6k₂ = 6(k₁-k₂). Karena k₁-k₂ ∈ ℤ, maka a-b ∈ 6ℤ. ✔️
     2. r ⋅ a = r(6k₁) = 6(rk₁). Karena rk₁ ∈ ℤ, maka r⋅a ∈ 6ℤ. (Karena ℤ komutatif, a⋅r juga ada di 6ℤ). ✔️ Karena kedua syarat terpenuhi, 6ℤ adalah ideal dari ℤ.
2. Soal Ideal Trivial: Apa saja ideal dari gelanggang lapangan (field) F?
   • Jawaban: Sebuah lapangan F hanya memiliki dua ideal: {0} (ideal nol) dan F itu sendiri (ideal tak sejati). Ini karena jika sebuah ideal I dari F mengandung elemen tak-nol x, maka x memiliki invers x⁻¹ ∈ F. Berdasarkan sifat penyerapan, x⁻¹ ⋅ x = 1 harus ada di I. Jika 1 ∈ I, maka untuk setiap r ∈ F, r ⋅ 1 = r juga harus ada di I. Ini berarti I = F.
3. Soal Ideal Utama: Tuliskan ideal <2, 3> di dalam ℤ sebagai sebuah ideal utama.
   • Jawaban: Ideal <2, 3> didefinisikan sebagai {2a + 3b | a, b ∈ ℤ}. Berdasarkan Identitas Bezout, kita tahu bahwa gcd(2, 3) = 1 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari 2 dan 3. Misalnya, (-1)⋅2 + (1)⋅3 = 1. Karena 1 dapat dihasilkan, maka setiap bilangan bulat n dapat dihasilkan (n = n⋅1 = n(-1)⋅2 + n(1)⋅3). Jadi, <2, 3> = ℤ atau <1>.