Kongruensi Modulo dan Struktur Zn

Back to MA2022 Struktur Bilangan Bulat

Kongruensi Modulo dan Struktur Zn

Questions/Cues

• Definisi Kongruensi Modulo
• Kongruensi sebagai Relasi Ekuivalen
• Kelas Residu Modulo n
• Definisi Himpunan Zn
• Operasi pada Zn
• Sifat “Well-Defined”
• Struktur Aljabar Zn

Definisi Kongruensi Modulo

Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n (ditulis a ≡ b mod n) jika dan hanya jika n habis membagi selisih (a - b).

• Contoh Praktis: 17 ≡ 2 mod 5 karena 17 - 2 = 15, dan 15 habis dibagi 5. Ini berarti 17 dan 2 memiliki sisa yang sama ketika dibagi 5.

Kongruensi sebagai Relasi Ekuivalen

Relasi kongruensi modulo n adalah contoh utama dari sebuah relasi ekuivalen karena ia memenuhi ketiga sifat yang diperlukan:

1. Refleksif: a ≡ a mod n
2. Simetris: Jika a ≡ b mod n, maka b ≡ a mod n
3. Transitif: Jika a ≡ b mod n dan b ≡ c mod n, maka a ≡ c mod n

Kelas Residu Modulo n

Karena kongruensi adalah relasi ekuivalen, ia mempartisi himpunan bilangan bulat ℤ menjadi beberapa kelompok yang disebut kelas ekuivalen atau kelas residu.

• Kelas residu dari a, ditulis [a] atau ā, adalah himpunan semua bilangan bulat yang kongruen dengan a modulo n.
• Contoh (mod 4):
  • [0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...} (semua bilangan yang habis dibagi 4)
  • [1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, ...} (semua bilangan yang bersisa 1 jika dibagi 4)

Definisi Himpunan Zn

Himpunan ℤn (dibaca “Z n”) adalah himpunan dari semua kelas residu modulo n.

• Himpunan ini memiliki tepat n anggota.
• Formal: ℤn = {[0], [1], [2], ..., [n-1]}.
• Penyederhanaan Notasi: Dalam praktiknya, ℤn sering ditulis sebagai {0, 1, 2, ..., n-1}. Namun, sangat penting untuk diingat bahwa setiap angka di sini sebenarnya mewakili seluruh kelas residu.

Operasi pada Zn

Kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada elemen-elemen ℤn:

• Penjumlahan: [a] + [b] = [a + b]
• Perkalian: [a] ⋅ [b] = [a ⋅ b]
• Contoh di ℤ₆:
  • [4] + [5] = [4 + 5] = [9]. Karena 9 ≡ 3 mod 6, maka [9] = [3]. Jadi, [4] + [5] = [3].
  • [4] ⋅ [5] = [4 ⋅ 5] = [20]. Karena 20 ≡ 2 mod 6, maka [20] = [2]. Jadi, [4] ⋅ [5] = [2].

Sifat “Well-Defined”

Sifat ini krusial untuk operasi di ℤn. Artinya, hasil operasi tidak akan berubah meskipun kita menggunakan perwakilan (representatif) yang berbeda dari kelas yang sama.

• Contoh di ℤ₆: Kita tahu [4] = [10] dan [5] = [-1].
  • Operasi [10] + [-1] = [9] = [3]. Hasilnya sama dengan [4] + [5].
• Ini membuktikan bahwa operasi tersebut konsisten dan terdefinisi dengan baik (well-defined).

Struktur Aljabar Zn

Dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang telah didefinisikan, ℤn membentuk sebuah struktur aljabar yang penting:

1. (ℤn, +): Himpunan ℤn dengan operasi penjumlahan membentuk sebuah Grup Komutatif (memiliki asosiatif, identitas [0], invers untuk setiap elemen, dan komutatif).
2. (ℤn, +, ⋅): Himpunan ℤn dengan kedua operasi membentuk sebuah Gelanggang Komutatif dengan Elemen Satuan (Commutative Ring with Unity), di mana elemen satuannya adalah [1].

Summary

Kongruensi modulo n adalah sebuah relasi ekuivalen yang mempartisi himpunan bilangan bulat ℤ menjadi n himpunan bagian yang disebut kelas residu. Kumpulan dari semua kelas residu ini, yang dinamakan ℤn, dapat dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang terdefinisi dengan baik (well-defined), sehingga membentuk sebuah struktur aljabar fundamental yang dikenal sebagai Gelanggang Komutatif.

Additional Information (Optional)

Pembagi Nol (Zero Divisors)

• Salah satu sifat menarik dari ℤn adalah keberadaan pembagi nol jika n bukan bilangan prima. Pembagi nol adalah elemen tak-nol [a] dan [b] yang jika dikalikan hasilnya [0].
• Contoh di ℤ₆: [2] ≠ [0] dan [3] ≠ [0], tetapi [2] ⋅ [3] = [6] = [0]. Jadi [2] dan [3] adalah pembagi nol.

Zn sebagai Lapangan (Field)

• Struktur ℤn akan menjadi lebih “istimewa”, yaitu menjadi sebuah Lapangan (Field), jika dan hanya jika n adalah sebuah bilangan prima. Dalam lapangan, setiap elemen tak-nol memiliki invers perkalian, dan tidak ada pembagi nol.

Aplikasi

• Aritmetika modular dan struktur ℤn adalah tulang punggung dari banyak aplikasi modern, termasuk kriptografi (seperti pada algoritma RSA), teori kode (untuk deteksi dan koreksi kesalahan), dan generasi bilangan acak pada komputer.