Lapangan

Back to MA2022 Struktur Bilangan Bulat

Lapangan (Field)

Questions/Cues

• Definisi Lapangan
• Syarat Kunci: Invers Perkalian
• Hubungan dengan Struktur Lain
• Daerah Integral Berhingga
• Sifat Ideal Lapangan

Definisi Lapangan

Sebuah Lapangan (Field) adalah struktur gelanggang yang paling “lengkap” dan “sempurna”. Ini adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan di mana setiap elemen tak-nol memiliki invers perkalian.

Secara intuitif, lapangan adalah sebuah sistem di mana kita bisa melakukan operasi tambah, kurang, kali, dan bagi (dengan pembagi tak-nol) dengan bebas, seperti pada himpunan bilangan rasional (ℚ) atau real (ℝ).

Syarat Kunci: Invers Perkalian

Inilah properti yang membedakan lapangan dari daerah integral.

• Untuk setiap elemen a ≠ 0 dalam sebuah lapangan F, dijamin ada elemen a⁻¹ ∈ F sehingga a ⋅ a⁻¹ = 1.
• Ini berarti himpunan elemen tak-nol dari sebuah lapangan, F* = F \ {0}, membentuk sebuah grup komutatif terhadap operasi perkalian.

Hubungan dengan Struktur Lain (Hierarki)

Lapangan menempati posisi puncak dalam hierarki gelanggang yang telah kita bangun.

• Setiap Lapangan adalah Daerah Euclid. Kita bisa membuktikannya dengan mendefinisikan fungsi Euklides δ(x)=1 untuk semua x≠0. Algoritma pembagian b = qa + r selalu terpenuhi dengan q = ba⁻¹ dan r = 0.
• Setiap Lapangan adalah Daerah Integral. Ini karena keberadaan invers perkalian menjamin tidak adanya pembagi nol.
• Hierarki Final: Lapangan ⊂ Daerah Euclid ⊂ DIU ⊂ DFT ⊂ Daerah Integral ⊂ Gelanggang.

Daerah Integral Berhingga adalah Lapangan

Ini adalah teorema yang sangat penting dan berguna.

• Teorema: Setiap daerah integral yang berhingga juga merupakan sebuah lapangan.
• Implikasi: Kita tahu ℤₙ adalah daerah integral jika n prima. Karena ℤₙ juga berhingga, maka ℤₚ (untuk p prima) pasti merupakan sebuah lapangan.

Sifat Ideal Lapangan

Struktur ideal dari sebuah lapangan sangat sederhana.

• Teorema: Sebuah lapangan F hanya memiliki dua ideal: ideal trivial {0} dan F itu sendiri.
• Ini terjadi karena jika sebuah ideal mengandung satu saja elemen tak-nol, ia pasti akan mengandung inversnya (melalui perkalian dengan elemen lain di F), yang akan menghasilkan 1, dan akhirnya akan mencakup seluruh lapangan.

Summary

Sebuah Lapangan (Field) adalah struktur gelanggang paling ‘lengkap’, yaitu gelanggang komutatif dengan elemen satuan di mana setiap elemen tak-nolnya memiliki invers perkalian. Sifat ini memungkinkan adanya operasi pembagian dan menempatkan lapangan di puncak hierarki gelanggang, karena setiap lapangan adalah Daerah Euclid (dan DIU, DFT, Daerah Integral). Teorema penting lainnya menyatakan bahwa setiap daerah integral berhingga juga merupakan sebuah lapangan.

Additional Information & Contoh Soal

Informasi Tambahan

• Visualisasi Hierarki: Hirarki gelanggang yang telah kita pelajari dapat divisualisasikan sebagai serangkaian lingkaran konsentris. Lapangan adalah lingkaran terdalam dan paling ‘spesial’, diikuti oleh Daerah Euclid, DIU, DFT, Daerah Integral, dan Gelanggang Komutatif sebagai lingkaran terluar.

Contoh Soal

1. Soal Identifikasi: Manakah dari himpunan berikut yang merupakan lapangan: ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ℤ₆, dan ℤ₇?
   • Jawaban:
     • ℚ, ℝ, ℂ adalah lapangan.
     • ℤ₇ adalah lapangan karena 7 adalah bilangan prima.
     • ℤ bukan lapangan karena tidak semua elemennya punya invers perkalian (misal, invers dari 2 adalah 1/2, bukan bilangan bulat).
     • ℤ₆ bukan lapangan karena ia bahkan bukan daerah integral (memiliki pembagi nol).
2. Soal Invers: Di lapangan ℤ₅, tentukan invers perkalian dari setiap elemen tak-nol.
   • Jawaban: Kita cari x sehingga a ⋅ x ≡ 1 mod 5.
     • Invers dari [1] adalah [1] (1⋅1=1).
     • Invers dari [2] adalah [3] (2⋅3=6≡1).
     • Invers dari [3] adalah [2] (3⋅2=6≡1).
     • Invers dari [4] adalah [4] (4⋅4=16≡1).
3. Soal Konseptual: Mengapa keberadaan invers perkalian untuk setiap elemen tak-nol secara otomatis menghilangkan pembagi nol?
   • Jawaban: Misalkan kita punya persamaan a ⋅ b = 0 di sebuah lapangan, dengan a ≠ 0. Karena a ≠ 0, maka inversnya, a⁻¹, ada. Kita bisa kalikan kedua sisi dengan a⁻¹: a⁻¹ ⋅ (a ⋅ b) = a⁻¹ ⋅ 0 (a⁻¹ ⋅ a) ⋅ b = 0 1 ⋅ b = 0 b = 0 Ini membuktikan bahwa jika a tidak nol, maka b harus nol. Jadi, tidak mungkin ada dua elemen tak-nol yang hasil kalinya nol.