Subgelanggang

Back to MA2022 Struktur Bilangan Bulat

Subgelanggang (Sub-ring)

Questions/Cues

• Definisi Subgelanggang
• Tes Subgelanggang
• Warisan Sifat
• Contoh: Subgelanggang nℤ
• Sifat Irisan

Definisi Subgelanggang

Sebuah Subgelanggang S adalah sebuah himpunan bagian tak-kosong dari gelanggang R yang juga membentuk sebuah gelanggang dengan menggunakan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (⋅) yang sama dari R. Secara intuitif, ini adalah “gelanggang di dalam gelanggang”.

Tes Subgelanggang (Sub-ring Test)

Untuk membuktikan bahwa sebuah himpunan bagian tak-kosong S dari R adalah subgelanggang, kita tidak perlu memeriksa semua aksioma gelanggang. Cukup gunakan tes yang lebih sederhana berikut:

S adalah subgelanggang jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ S berlaku:

1. Tertutup terhadap Pengurangan: a - b ∈ S. (Kondisi ini sudah cukup untuk membuktikan (S, +) adalah subgrup dari (R, +)).
2. Tertutup terhadap Perkalian: a ⋅ b ∈ S.

Warisan Sifat (Inherited Properties)

Tes subgelanggang bisa lebih sederhana karena beberapa sifat gelanggang secara otomatis “diwariskan” oleh S dari R. Sifat-sifat seperti asosiatif (untuk + dan ⋅), komutatif (untuk +), dan distributif tidak perlu dibuktikan lagi untuk S karena elemen-elemen S juga merupakan elemen R.

Contoh Utama: Subgelanggang dari ℤ

Terdapat teorema penting yang mengkarakterisasi semua subgelanggang dari himpunan bilangan bulat ℤ.

• Teorema: Sebuah himpunan bagian S dari ℤ adalah subgelanggang jika dan hanya jika S memiliki bentuk nℤ untuk suatu bilangan bulat n.
• nℤ adalah himpunan semua kelipatan dari n. Contoh: 3ℤ = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...} adalah subgelanggang dari ℤ.

Sifat Irisan (Intersection Property)

Teorema: Jika A dan B adalah dua subgelanggang dari gelanggang R, maka irisan keduanya, A ∩ B, juga merupakan sebuah subgelanggang dari R.

Summary

• Sebuah Subgelanggang S adalah himpunan bagian dari gelanggang R yang juga merupakan gelanggang dengan operasi yang sama. Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menggunakan tes subgelanggang sederhana: S harus tertutup terhadap pengurangan (a - b ∈ S) dan perkalian (a ⋅ b ∈ S). Contoh paling fundamental adalah subgelanggang dari ℤ, yang selalu berbentuk nℤ.

Additional Information & Contoh Soal

Informasi Tambahan

• Perbedaan Subgelanggang dan Ideal: Jangan bingung antara subgelanggang dan ideal. Sebuah subgelanggang hanya perlu tertutup terhadap perkalian internal (jika s₁, s₂ ∈ S, maka s₁s₂ ∈ S). Sementara itu, sebuah ideal harus “menyerap” perkalian eksternal (jika s ∈ S dan r ∈ R, maka rs dan sr harus ada di S). Setiap ideal adalah subgelanggang, tetapi tidak semua subgelanggang adalah ideal.

Contoh Soal

1. Soal Verifikasi: Gunakan tes subgelanggang untuk membuktikan bahwa 5ℤ adalah subgelanggang dari ℤ.
   • Jawaban: Ambil dua elemen sembarang dari 5ℤ, sebut saja x = 5a dan y = 5b untuk a, b ∈ ℤ.
     1. Pengurangan: x - y = 5a - 5b = 5(a - b). Karena a-b adalah bilangan bulat, maka 5(a-b) adalah kelipatan 5. Jadi, x - y ∈ 5ℤ. ✔️
     2. Perkalian: x ⋅ y = (5a)(5b) = 25ab = 5(5ab). Karena 5ab adalah bilangan bulat, maka 5(5ab) adalah kelipatan 5. Jadi, x ⋅ y ∈ 5ℤ. ✔️ Karena kedua syarat terpenuhi, 5ℤ adalah subgelanggang dari ℤ.
2. Soal Matriks: Apakah himpunan S dari semua matriks segitiga atas 2x2 ([[a, b], [0, c]]) dengan entri bilangan bulat merupakan subgelanggang dari M₂(ℤ)?
   • Jawaban: Ya. Ambil dua matriks segitiga atas X = [[a₁, b₁], [0, c₁]] dan Y = [[a₂, b₂], [0, c₂]].
     • X - Y = [[a₁-a₂, b₁-b₂], [0, c₁-c₂]]. Ini masih matriks segitiga atas.
     • X ⋅ Y = [[a₁a₂, a₁b₂+b₁c₂], [0, c₁c₂]]. Ini juga masih matriks segitiga atas. Karena tertutup terhadap pengurangan dan perkalian, S adalah subgelanggang.
3. Soal Non-Contoh: Apakah S = {semua polinomial dengan derajat tepat 2} merupakan subgelanggang dari gelanggang semua polinomial P(x)?
   • Jawaban: Tidak. S tidak tertutup terhadap penjumlahan (atau pengurangan). Contoh: (x² + 2x) + (-x² + 3x) = 5x. Hasilnya adalah polinomial berderajat 1, yang tidak ada di S.