Subgrup

Back to MA2022 Struktur Bilangan Bulat

Subgrup

Questions/Cues

• Definisi Subgrup
• Tes Subgrup (Tiga Langkah)
• Tes Subgrup (Satu Langkah)
• Tes Subgrup Hingga
• Contoh-contoh Subgrup
• Subgrup Spesial: Center Z(G)
• Subgrup Spesial: Centralizer C(a)

Definisi Subgrup

Sebuah Subgrup H adalah sebuah himpunan bagian (subset) dari grup G yang juga membentuk sebuah grup dengan menggunakan operasi biner yang sama seperti di G.

• Notasi: H ≤ G dibaca “H adalah subgrup dari G”.
• Warisan Sifat: Karena H adalah bagian dari G, sifat asosiatif secara otomatis diwariskan oleh H dari G. Ini menyederhanakan proses pembuktian.

Tes Subgrup (Tiga Langkah)

Ini adalah cara standar untuk memeriksa apakah sebuah himpunan bagian H dari G merupakan subgrup. H adalah subgrup jika dan hanya jika ketiga kondisi ini terpenuhi:

1. Mengandung Identitas: Elemen identitas e dari G juga harus ada di dalam H. (e ∈ H).
2. Tertutup terhadap Operasi: Jika h₁ dan h₂ ada di H, maka hasil operasinya h₁ * h₂ juga harus ada di H.
3. Tertutup terhadap Invers: Jika h ada di H, maka inversnya h⁻¹ juga harus ada di H.

Tes Subgrup (Satu Langkah)

Ini adalah tes yang lebih ringkas dan efisien. Sebuah himpunan bagian tak-kosong H dari G adalah subgrup jika dan hanya jika:

• Kondisi Tunggal: Untuk setiap g, h ∈ H, berlaku g * h⁻¹ ∈ H.
• Kekuatan Tes Ini: Kondisi tunggal ini secara cerdas sudah mencakup syarat tertutup terhadap invers dan operasi sekaligus.

Tes Subgrup Hingga (Finite Subgroup Test)

Ini adalah “jalan pintas” khusus jika grup G (dan consequently H) adalah grup hingga. Sebuah himpunan bagian tak-kosong H dari grup hingga G adalah subgrup jika dan hanya jika:

• Kondisi Tunggal: H tertutup di bawah operasi grup.
• Mengapa Cukup? Dalam konteks himpunan hingga, sifat tertutup saja sudah cukup untuk menjamin adanya elemen identitas dan invers di dalam H.

Contoh-contoh Subgrup

• Subgrup Trivial: Setiap grup G pasti memiliki dua subgrup trivial: {e} (hanya berisi elemen identitas) dan G itu sendiri.
• (ℤ, +) ≤ (ℚ, +) ≤ (ℝ, +): Himpunan bilangan bulat adalah subgrup dari himpunan bilangan rasional, yang juga merupakan subgrup dari himpunan bilangan real, semuanya dengan operasi penjumlahan.
• nℤ ≤ ℤ: Himpunan semua kelipatan bilangan bulat n (misalnya, 3ℤ = {..., -3, 0, 3, ...}) selalu membentuk subgrup dari (ℤ, +).

Subgrup Spesial: Center Z(G)

Center dari sebuah grup G, dinotasikan Z(G), adalah himpunan semua elemen di G yang bersifat komutatif dengan setiap elemen lain di G.

• Formal: Z(G) = {x ∈ G | gx = xg untuk semua g ∈ G}.
• Z(G) selalu merupakan subgrup dari G.
• Jika G adalah grup Abelian, maka semua elemennya komutatif, sehingga Z(G) = G.

Subgrup Spesial: Centralizer C(a)

Centralizer dari sebuah elemen a di G, dinotasikan C(a), adalah himpunan semua elemen di G yang bersifat komutatif hanya dengan elemen a tersebut.

• Formal: C(a) = {g ∈ G | ag = ga}.
• C(a) juga selalu merupakan subgrup dari G.
• Hubungan dengan Center: Center Z(G) adalah irisan dari semua Centralizer C(a) untuk setiap a di G.

Summary

Sebuah Subgrup H adalah himpunan bagian dari grup G yang juga membentuk grup dengan operasi yang sama. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan ‘tes subgrup’ yang lebih sederhana (seperti tes satu langkah: gh⁻¹ ∈ H), daripada memeriksa semua aksioma grup dari awal. Terdapat pula subgrup-subgrup spesial seperti Center Z(G) (elemen yang komutatif dengan semua) dan Centralizer C(a) (elemen yang komutatif dengan a), yang mengelompokkan elemen-elemen berdasarkan sifat komutatifnya.

Additional Information & Contoh Soal

Informasi Tambahan

• Normalizer dan Subgrup Konjugasi: Konsep yang lebih lanjut adalah Normalizer dari subgrup H (N(H)) dan subgrup konjugasi (gHg⁻¹). Ini adalah alat penting dalam mempelajari struktur internal grup dan dekomposisinya.

Contoh Soal

1. Soal Tes Subgrup: Gunakan tes subgrup satu langkah untuk membuktikan bahwa H = {a + b√2 | a, b ∈ ℤ} adalah subgrup dari (ℝ, +).
   • Jawaban: Ambil dua elemen sembarang dari H, yaitu x = a₁ + b₁√2 dan y = a₂ + b₂√2. Operasi grupnya adalah +, jadi invers dari y adalah -y.
   • Kita perlu periksa apakah x + (-y) ada di H. x - y = (a₁ + b₁√2) - (a₂ + b₂√2) = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)√2.
   • Karena a₁-a₂ dan b₁-b₂ adalah bilangan bulat, hasilnya memiliki bentuk a' + b'√2 dan dengan demikian ada di H. H adalah subgrup.
2. Soal Center: Tentukan Center dari GL₂(ℝ).
   • Jawaban: Center Z(GL₂(ℝ)) adalah himpunan matriks skalar, yaitu matriks berbentuk [[a, 0], [0, a]] di mana a adalah bilangan real tak-nol. Hanya matriks jenis ini yang dijamin komutatif dengan semua matriks 2x2 lainnya yang dapat dibalik.
3. Soal Centralizer: Di grup (ℤ₁₀, +), tentukan C(2).
   • Jawaban: Operasi grupnya adalah penjumlahan, yang bersifat komutatif. Karena itu, setiap elemen akan komutatif dengan elemen 2. Jadi, C(2) = ℤ₁₀ itu sendiri. Secara umum, dalam grup Abelian G, C(a) = G untuk setiap elemen a.