Uji Mann-Whitney U (Wilcoxon Rank Sum Test)

Back to MA2281 Statistika nonparametrik

Topic: Uji Wilcoxon Rank-Sum & Mann-Whitney U Test

Questions/Cues

• Definisi Dasar

• Kapan digunakan?

• Asumsi Utama

• Analogi Sederhana

Reference Points

• PDF: 3. Uji Wilcoxon Rank-Sum

• PDF: 4. Mann-Whitney U Test

• PDF: Catatan Kuis 1 Statnonpar

Konsep Dasar & Tujuan

Apa itu Uji Wilcoxon Rank-Sum / Mann-Whitney U?

Ini adalah uji statistik non-parametrik yang digunakan untuk membandingkan dua populasi yang independen (saling bebas).

Tujuannya: Menentukan apakah dua sampel berasal dari populasi dengan distribusi yang sama (khususnya melihat perbedaan median atau lokasi pusat data).

Kapan Kita Menggunakannya?

1. Data Tidak Normal: Ketika data Anda melanggar asumsi normalitas (misalnya, ada outlier ekstrim atau menceng).

2. Sampel Kecil: Ketika jumlah sampel sedikit sehingga sulit memastikan distribusi normal.

3. Data Ordinal: Atau data interval/rasio yang diubah menjadi peringkat.

Hubungan dengan Uji-t (t-test):

Jika Uji-t (parametrik) membandingkan rata-rata (mean) dengan asumsi data normal, maka Wilcoxon/Mann-Whitney adalah alternatifnya yang membandingkan peringkat (rank) tanpa asumsi normalitas.

Analogi Pemula:

Bayangkan sebuah lomba lari antara Tim A dan Tim B.

• Uji Parametrik (t-test): Kita menghitung rata-rata waktu lari. Jika satu orang di Tim A sangat lambat (outlier), rata-rata tim hancur.

• Uji Non-Parametrik (Wilcoxon): Kita tidak peduli waktunya, tapi urutan finish-nya. Siapa yang juara 1, 2, 3, dst. Jika juara 1 dari Tim A, juara 2 dari Tim A, dan juara 3 dari Tim A, kita bisa bilang Tim A lebih cepat, tidak peduli berapa detik waktu mereka.

Prosedur & Perhitungan (Step-by-Step)

Langkah 1: Penggabungan & Peringkat

Gabungkan data dari kedua sampel ($n_1$ dan $n_2$) menjadi satu kelompok besar. Urutkan dari nilai terkecil ke terbesar.

• Berikan peringkat (ranking) mulai dari 1 sampai $N$ (total data).

Langkah 2: Penanganan “Ties” (Angka Kembar)

Jika ada nilai yang sama persis (ties), peringkatnya adalah rata-rata dari peringkat yang seharusnya ditempati.

• Contoh: Data ke-7 dan ke-8 nilainya sama. Maka keduanya mendapat peringkat: $\frac{7+8}{2}=7.5$.

Langkah 3: Penjumlahan Peringkat ($W$)

Pisahkan kembali data ke kelompok asal. Hitung jumlah peringkat untuk sampel yang lebih kecil ($n_1$), sebut ini $w_1$. Hitung juga untuk sampel besar ($w_2$).

• Validasi: $w_1+w_2=\frac{(n_1+n_2)(n_1+n_2+1)}{2}$. Ini adalah rumus jumlah deret aritmatika.

Contoh Kasus & Perhitungan Manual

Skenario:

Kita membandingkan efisiensi bahan bakar dua jenis ban.

Catatan: Untuk contoh manual ini, kita ambil 5 mobil pertama dari tiap grup sebagai sampel independen.

Data Mentah:

• Ban Radial (A): 4.2, 4.7, 6.6, 7.0, 6.7

• Ban Belted (B): 4.1, 4.9, 6.2, 6.9, 6.8

Langkah 1: Urutkan & Ranking Gabungan

Nilai	Asal Kelompok	Peringkat (Rank)
4.1	Belted (B)	1
4.2	Radial (A)	2
4.7	Radial (A)	3
4.9	Belted (B)	4
6.2	Belted (B)	5
6.6	Radial (A)	6
6.7	Radial (A)	7
6.8	Belted (B)	8
6.9	Belted (B)	9
7.0	Radial (A)	10

Langkah 2: Hitung Wilcoxon Rank Sum ($W$)

Jumlahkan peringkat masing-masing kelompok:

• $W_A$ (Radial): $2+3+6+7+10=28$

• $W_B$ (Belted): $1+4+5+8+9=27$

Validasi: Total $W=28+27=55$. Rumus: $\frac{10(11)}{2}=55$. (Cocok).

Langkah 3: Hitung Mann-Whitney ($U$)

Transformasi $W$ menjadi $U$ untuk melihat “jumlah kemenangan”.

U_A = W_A - \frac{n_A(n_A+1)}{2} = 28 - \frac{5(6)}{2} = 28 - 15 = \mathbf{13}$$$$U_B = W_B - \frac{n_B(n_B+1)}{2} = 27 - \frac{5(6)}{2} = 27 - 15 = \mathbf{12}

Hasil Akhir ($U$ Statistik):

Kita ambil nilai terkecil: $U=12$.

Perbedaan: Statistik $U$ vs $W$

1. Wilcoxon Rank Sum ($W$):

• Apa itu? Murni jumlah peringkat.

• Kelemahan: Nilainya bergantung pada seberapa banyak sampel yang Anda miliki. Makin banyak sampel, makin besar nilai $W$. Sulit dibandingkan antar studi.

• Dalam Contoh: $W_A=28$.

2. Mann-Whitney ($U$):

• Apa itu? Jumlah pasangan dimana satu grup “mengalahkan” grup lain.

• Interpretasi:

  • $U_A=13$ artinya: Ada 13 kejadian di mana skor Radial > skor Belted (jika diadu satu lawan satu).

  • $U_B=12$ artinya: Ada 12 kejadian di mana skor Belted > skor Radial.

• Keunggulan: Nilainya selalu antara $0$ sampai $n_1\times n_2$. Lebih terstandarisasi.

• Dalam Contoh: $U=12$ (skor minimum).

Statistik Uji ($U$ vs $W$)

Rumus Transformasi:

U_1 = w_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}$$$$U_2 = w_2 - \frac{n_2(n_2+1)}{2}

Pengambilan Keputusan:

Bandingkan nilai $U$ hitung dengan Tabel Kritis.

• Tolak $H_0$ jika $U_{hitung}\le U_{tabel}$. (Perhatikan: di sini kita mencari nilai yang kecil atau ekstrim).

Aproksimasi Normal (Sampel Besar)

Kapan menggunakan pendekatan Normal?

Ketika ukuran sampel cukup besar (biasanya $n_1>8$ dan $n_2>8$, atau salah satu $>20$), distribusi statistik $U$ mendekati distribusi Normal (Kurva Lonceng).

Parameter Statistik Z:

Kita menstandarisasi nilai $U$ menjadi nilai $Z$ (Z-score):

$Z=\frac{U-{\mu }_U}{{\sigma }_U}$

Dimana:

• Mean (${\mu }_U$): Nilai harapan rata-rata.

  ${\mu }_U=\frac{n_1{n}_2}{2}$

• Standar Deviasi (${\sigma }_U$): Ukuran penyebaran peringkat.

  ${\sigma }_U=\sqrt{\frac{n_1{n}_2(n_1+n_2+1)}{12}}$

Catatan: Jika menggunakan Z-score, bandingkan dengan tabel Z standar (misal $\pm 1.96$ untuk $\alpha =5\%$).

Summary

Uji Wilcoxon Rank-Sum (dan ekuivalensinya, Mann-Whitney U Test) adalah metode statistik non-parametrik untuk membandingkan dua sampel independen tanpa asumsi normalitas. Inti metodenya adalah mengubah data menjadi peringkat (ranks). Statistik $W$ adalah jumlah peringkat salah satu grup, sedangkan statistik $U$ adalah ukuran “dominasi” satu grup terhadap grup lain (jumlah kemenangan head-to-head). Keduanya ekuivalen secara matematis: $U=W-\text{faktor koreksi}$. Untuk sampel besar ($n>8$), kita menggunakan aproksimasi Normal (Z-score) untuk menarik kesimpulan.

Ad Libitum: Pendalaman Teknis & Matematis

Bagian ini membahas detail matematis untuk penanganan ties (angka kembar) dan bukti ekuivalensi.

1. Koreksi Varians untuk Data Ties (Angka Kembar)

Rumus varians TERKOREKSI (jika ada ties):

$\mathbb{V}ar(W_n)=\frac{n_1{n}_2(N+1)}{12}-\frac{n_1{n}_2{\sum }_{i=1}^k(t_i^3-t_i)}{12N(N+1)}$

• $t_i$: Banyaknya angka yang sama dalam satu grup kembar.

• Faktor $(t_i^3-t_i)$ mengurangi varians karena angka kembar mengurangi variasi peringkat yang mungkin.

2. Ekuivalensi Matematis

$U=W_{sampel\_kecil}-\frac{n_1(n_1+1)}{2}$

$U$ pada dasarnya menghitung: “Jika kita pasangkan setiap anggota Grup A dengan setiap anggota Grup B, berapa kali A menang?“.

3. Implementasi Code (Python)

from scipy.stats import mannwhitneyu
# Data dari contoh di atas
radial = [4.2, 4.7, 6.6, 7.0, 6.7]
belted = [4.1, 4.9, 6.2, 6.9, 6

Spaced Repetition Questions (Review)

1. Apa perbedaan interpretasi antara nilai W (Wilcoxon) dan U (Mann-Whitney)?

$W$ adalah jumlah peringkat absolut (bergantung ukuran sampel), sedangkan $U$ merepresentasikan jumlah “kemenangan” head-to-head antar grup (lebih terstandarisasi antara 0 hingga $n_1\times n_2$).

2. Dalam contoh perhitungan di atas, mengapa U = 12 dipilih sebagai statistik uji?

Karena dalam uji dua sisi, kita memilih nilai minimum antara $U_1$ (13) dan $U_2$ (12). Nilai $U$ yang lebih kecil menunjukkan pemisahan distribusi yang lebih kuat (salah satu grup mendominasi peringkat ujung).

3. Jika kita memiliki data: Grup A [10, 10] dan Grup B [20, 30], berapakah nilai U untuk Grup A?

Grup A nilainya (10, 10) lebih kecil dari semua Grup B (20, 30).

Rank A: 1.5, 1.5 → $W_A=3$.

$U_A=3-\frac{2(3)}{2}=0$.

Artinya Grup A menang 0 kali melawan Grup B.